System equations

연립방정식은 2개 이상의 미지수를 포함하는 집합이다

방정식의 개수와 미지수의 개수를 비교하여 세가지로 나눌 수 있다

 

Square system

 

미지수의 개수와 방정식의 개수가 같은 경우이다

 

두 직선의 교점과 같은 예시가 있다

$ y = ax + b $ , $ y = cx + d $

x,y의 두개의 미지수와 두개의 방정식!

 

이런 square system의 경우 solution은 unique하거나 없다

가우스 소거법을 사용해 solution space를 구할 수 있다

LU분해를 함께 진행해준다면 연산 시간을 줄일 수 있다

 

Under constrained system

 

미지수의 개수보다 방정식의 개수가 적은 경우이다

 

두개의 평면의 접선과 같은 예시가 있다

이때 미지수는 세개, 방정식은 두개가 되므로 두 평면이 만나는 경우 만나는 부분은 접선이 되어 무수한 해를 갖게 된다

 

위 예시처럼 under constrained system은 vector space를 solution space로 갖게 되어 무수히 많은 해가 생기거나 해가 없는 경우로 나뉜다

이런 상황에서도 가우스 소거법을 사용하는데 가우스 소거법을 활용하여 reduced row echelon form인 행 사다리꼴 행렬을 만들어 solution space를 구할 수 있다

 

 

Over constrained system

 

미지수의 개수보다 방정식의 개수가 많은 경우이다

 

세 직선의 교점과 같은 경우가 있다

이런 경우는 운이 좋게 세 직선이 한 점에서 만날 수도 있지만 대부분 그렇지 않은 경우가 많을 것이다

 

따라서 over constrained system은 정확한 solution space를 갖지 않고 estimate된 solution을 갖게 된다

Leqst Square를 사용하여 해당 solution을 찾을 수 있다